3.89 \(\int \frac{1}{a+b \sin ^2(c+d x)} \, dx\)

Optimal. Leaf size=36 \[ \frac{\tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \tan (c+d x)}{\sqrt{a}}\right )}{\sqrt{a} d \sqrt{a+b}} \]

[Out]

ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*Sqrt[a + b]*d)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.0239375, antiderivative size = 36, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 2, number of rules used = 2, integrand size = 14, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.143, Rules used = {3181, 205} \[ \frac{\tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \tan (c+d x)}{\sqrt{a}}\right )}{\sqrt{a} d \sqrt{a+b}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(a + b*Sin[c + d*x]^2)^(-1),x]

[Out]

ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*Sqrt[a + b]*d)

Rule 3181

Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(-1), x_Symbol] :> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Dist
[ff/f, Subst[Int[1/(a + (a + b)*ff^2*x^2), x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x]

Rule 205

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]])/a, x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{1}{a+b \sin ^2(c+d x)} \, dx &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{a+(a+b) x^2} \, dx,x,\tan (c+d x)\right )}{d}\\ &=\frac{\tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \tan (c+d x)}{\sqrt{a}}\right )}{\sqrt{a} \sqrt{a+b} d}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.0778624, size = 36, normalized size = 1. \[ \frac{\tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \tan (c+d x)}{\sqrt{a}}\right )}{\sqrt{a} d \sqrt{a+b}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(a + b*Sin[c + d*x]^2)^(-1),x]

[Out]

ArcTan[(Sqrt[a + b]*Tan[c + d*x])/Sqrt[a]]/(Sqrt[a]*Sqrt[a + b]*d)

________________________________________________________________________________________

Maple [A]  time = 0.075, size = 30, normalized size = 0.8 \begin{align*}{\frac{1}{d}\arctan \left ({ \left ( a+b \right ) \tan \left ( dx+c \right ){\frac{1}{\sqrt{a \left ( a+b \right ) }}}} \right ){\frac{1}{\sqrt{a \left ( a+b \right ) }}}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(1/(a+sin(d*x+c)^2*b),x)

[Out]

1/d/(a*(a+b))^(1/2)*arctan((a+b)*tan(d*x+c)/(a*(a+b))^(1/2))

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: ValueError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+b*sin(d*x+c)^2),x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 1.79461, size = 568, normalized size = 15.78 \begin{align*} \left [-\frac{\sqrt{-a^{2} - a b} \log \left (\frac{{\left (8 \, a^{2} + 8 \, a b + b^{2}\right )} \cos \left (d x + c\right )^{4} - 2 \,{\left (4 \, a^{2} + 5 \, a b + b^{2}\right )} \cos \left (d x + c\right )^{2} + 4 \,{\left ({\left (2 \, a + b\right )} \cos \left (d x + c\right )^{3} -{\left (a + b\right )} \cos \left (d x + c\right )\right )} \sqrt{-a^{2} - a b} \sin \left (d x + c\right ) + a^{2} + 2 \, a b + b^{2}}{b^{2} \cos \left (d x + c\right )^{4} - 2 \,{\left (a b + b^{2}\right )} \cos \left (d x + c\right )^{2} + a^{2} + 2 \, a b + b^{2}}\right )}{4 \,{\left (a^{2} + a b\right )} d}, -\frac{\arctan \left (\frac{{\left (2 \, a + b\right )} \cos \left (d x + c\right )^{2} - a - b}{2 \, \sqrt{a^{2} + a b} \cos \left (d x + c\right ) \sin \left (d x + c\right )}\right )}{2 \, \sqrt{a^{2} + a b} d}\right ] \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+b*sin(d*x+c)^2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[-1/4*sqrt(-a^2 - a*b)*log(((8*a^2 + 8*a*b + b^2)*cos(d*x + c)^4 - 2*(4*a^2 + 5*a*b + b^2)*cos(d*x + c)^2 + 4*
((2*a + b)*cos(d*x + c)^3 - (a + b)*cos(d*x + c))*sqrt(-a^2 - a*b)*sin(d*x + c) + a^2 + 2*a*b + b^2)/(b^2*cos(
d*x + c)^4 - 2*(a*b + b^2)*cos(d*x + c)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2))/((a^2 + a*b)*d), -1/2*arctan(1/2*((2*a + b)*co
s(d*x + c)^2 - a - b)/(sqrt(a^2 + a*b)*cos(d*x + c)*sin(d*x + c)))/(sqrt(a^2 + a*b)*d)]

________________________________________________________________________________________

Sympy [A]  time = 49.8561, size = 3907, normalized size = 108.53 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+b*sin(d*x+c)**2),x)

[Out]

Piecewise((zoo*x/sin(c)**2, Eq(a, 0) & Eq(b, 0) & Eq(d, 0)), ((tan(c/2 + d*x/2)/(2*d) - 1/(2*d*tan(c/2 + d*x/2
)))/b, Eq(a, 0)), (2*tan(c/2 + d*x/2)/(b*d*tan(c/2 + d*x/2)**2 - b*d), Eq(a, -b)), (x/(a + b*sin(c)**2), Eq(d,
0)), (-a**3*sqrt(-1 - 2*b/a - 2*sqrt(a*b + b**2)/a)*log(-sqrt(-1 - 2*b/a - 2*sqrt(a*b + b**2)/a) + tan(c/2 +
d*x/2))/(2*a**4*d + 18*a**3*b*d - 8*a**3*d*sqrt(a*b + b**2) + 32*a**2*b**2*d - 24*a**2*b*d*sqrt(a*b + b**2) +
16*a*b**3*d - 16*a*b**2*d*sqrt(a*b + b**2)) + a**3*sqrt(-1 - 2*b/a - 2*sqrt(a*b + b**2)/a)*log(sqrt(-1 - 2*b/a
- 2*sqrt(a*b + b**2)/a) + tan(c/2 + d*x/2))/(2*a**4*d + 18*a**3*b*d - 8*a**3*d*sqrt(a*b + b**2) + 32*a**2*b**
2*d - 24*a**2*b*d*sqrt(a*b + b**2) + 16*a*b**3*d - 16*a*b**2*d*sqrt(a*b + b**2)) - a**3*sqrt(-1 - 2*b/a + 2*sq
rt(a*b + b**2)/a)*log(-sqrt(-1 - 2*b/a + 2*sqrt(a*b + b**2)/a) + tan(c/2 + d*x/2))/(2*a**4*d + 18*a**3*b*d - 8
*a**3*d*sqrt(a*b + b**2) + 32*a**2*b**2*d - 24*a**2*b*d*sqrt(a*b + b**2) + 16*a*b**3*d - 16*a*b**2*d*sqrt(a*b
+ b**2)) + a**3*sqrt(-1 - 2*b/a + 2*sqrt(a*b + b**2)/a)*log(sqrt(-1 - 2*b/a + 2*sqrt(a*b + b**2)/a) + tan(c/2
+ d*x/2))/(2*a**4*d + 18*a**3*b*d - 8*a**3*d*sqrt(a*b + b**2) + 32*a**2*b**2*d - 24*a**2*b*d*sqrt(a*b + b**2)
+ 16*a*b**3*d - 16*a*b**2*d*sqrt(a*b + b**2)) - 13*a**2*b*sqrt(-1 - 2*b/a - 2*sqrt(a*b + b**2)/a)*log(-sqrt(-1
- 2*b/a - 2*sqrt(a*b + b**2)/a) + tan(c/2 + d*x/2))/(2*a**4*d + 18*a**3*b*d - 8*a**3*d*sqrt(a*b + b**2) + 32*
a**2*b**2*d - 24*a**2*b*d*sqrt(a*b + b**2) + 16*a*b**3*d - 16*a*b**2*d*sqrt(a*b + b**2)) + 13*a**2*b*sqrt(-1 -
2*b/a - 2*sqrt(a*b + b**2)/a)*log(sqrt(-1 - 2*b/a - 2*sqrt(a*b + b**2)/a) + tan(c/2 + d*x/2))/(2*a**4*d + 18*
a**3*b*d - 8*a**3*d*sqrt(a*b + b**2) + 32*a**2*b**2*d - 24*a**2*b*d*sqrt(a*b + b**2) + 16*a*b**3*d - 16*a*b**2
*d*sqrt(a*b + b**2)) - 5*a**2*b*sqrt(-1 - 2*b/a + 2*sqrt(a*b + b**2)/a)*log(-sqrt(-1 - 2*b/a + 2*sqrt(a*b + b*
*2)/a) + tan(c/2 + d*x/2))/(2*a**4*d + 18*a**3*b*d - 8*a**3*d*sqrt(a*b + b**2) + 32*a**2*b**2*d - 24*a**2*b*d*
sqrt(a*b + b**2) + 16*a*b**3*d - 16*a*b**2*d*sqrt(a*b + b**2)) + 5*a**2*b*sqrt(-1 - 2*b/a + 2*sqrt(a*b + b**2)
/a)*log(sqrt(-1 - 2*b/a + 2*sqrt(a*b + b**2)/a) + tan(c/2 + d*x/2))/(2*a**4*d + 18*a**3*b*d - 8*a**3*d*sqrt(a*
b + b**2) + 32*a**2*b**2*d - 24*a**2*b*d*sqrt(a*b + b**2) + 16*a*b**3*d - 16*a*b**2*d*sqrt(a*b + b**2)) + 5*a*
*2*sqrt(a*b + b**2)*sqrt(-1 - 2*b/a - 2*sqrt(a*b + b**2)/a)*log(-sqrt(-1 - 2*b/a - 2*sqrt(a*b + b**2)/a) + tan
(c/2 + d*x/2))/(2*a**4*d + 18*a**3*b*d - 8*a**3*d*sqrt(a*b + b**2) + 32*a**2*b**2*d - 24*a**2*b*d*sqrt(a*b + b
**2) + 16*a*b**3*d - 16*a*b**2*d*sqrt(a*b + b**2)) - 5*a**2*sqrt(a*b + b**2)*sqrt(-1 - 2*b/a - 2*sqrt(a*b + b*
*2)/a)*log(sqrt(-1 - 2*b/a - 2*sqrt(a*b + b**2)/a) + tan(c/2 + d*x/2))/(2*a**4*d + 18*a**3*b*d - 8*a**3*d*sqrt
(a*b + b**2) + 32*a**2*b**2*d - 24*a**2*b*d*sqrt(a*b + b**2) + 16*a*b**3*d - 16*a*b**2*d*sqrt(a*b + b**2)) + 3
*a**2*sqrt(a*b + b**2)*sqrt(-1 - 2*b/a + 2*sqrt(a*b + b**2)/a)*log(-sqrt(-1 - 2*b/a + 2*sqrt(a*b + b**2)/a) +
tan(c/2 + d*x/2))/(2*a**4*d + 18*a**3*b*d - 8*a**3*d*sqrt(a*b + b**2) + 32*a**2*b**2*d - 24*a**2*b*d*sqrt(a*b
+ b**2) + 16*a*b**3*d - 16*a*b**2*d*sqrt(a*b + b**2)) - 3*a**2*sqrt(a*b + b**2)*sqrt(-1 - 2*b/a + 2*sqrt(a*b +
b**2)/a)*log(sqrt(-1 - 2*b/a + 2*sqrt(a*b + b**2)/a) + tan(c/2 + d*x/2))/(2*a**4*d + 18*a**3*b*d - 8*a**3*d*s
qrt(a*b + b**2) + 32*a**2*b**2*d - 24*a**2*b*d*sqrt(a*b + b**2) + 16*a*b**3*d - 16*a*b**2*d*sqrt(a*b + b**2))
- 28*a*b**2*sqrt(-1 - 2*b/a - 2*sqrt(a*b + b**2)/a)*log(-sqrt(-1 - 2*b/a - 2*sqrt(a*b + b**2)/a) + tan(c/2 + d
*x/2))/(2*a**4*d + 18*a**3*b*d - 8*a**3*d*sqrt(a*b + b**2) + 32*a**2*b**2*d - 24*a**2*b*d*sqrt(a*b + b**2) + 1
6*a*b**3*d - 16*a*b**2*d*sqrt(a*b + b**2)) + 28*a*b**2*sqrt(-1 - 2*b/a - 2*sqrt(a*b + b**2)/a)*log(sqrt(-1 - 2
*b/a - 2*sqrt(a*b + b**2)/a) + tan(c/2 + d*x/2))/(2*a**4*d + 18*a**3*b*d - 8*a**3*d*sqrt(a*b + b**2) + 32*a**2
*b**2*d - 24*a**2*b*d*sqrt(a*b + b**2) + 16*a*b**3*d - 16*a*b**2*d*sqrt(a*b + b**2)) - 4*a*b**2*sqrt(-1 - 2*b/
a + 2*sqrt(a*b + b**2)/a)*log(-sqrt(-1 - 2*b/a + 2*sqrt(a*b + b**2)/a) + tan(c/2 + d*x/2))/(2*a**4*d + 18*a**3
*b*d - 8*a**3*d*sqrt(a*b + b**2) + 32*a**2*b**2*d - 24*a**2*b*d*sqrt(a*b + b**2) + 16*a*b**3*d - 16*a*b**2*d*s
qrt(a*b + b**2)) + 4*a*b**2*sqrt(-1 - 2*b/a + 2*sqrt(a*b + b**2)/a)*log(sqrt(-1 - 2*b/a + 2*sqrt(a*b + b**2)/a
) + tan(c/2 + d*x/2))/(2*a**4*d + 18*a**3*b*d - 8*a**3*d*sqrt(a*b + b**2) + 32*a**2*b**2*d - 24*a**2*b*d*sqrt(
a*b + b**2) + 16*a*b**3*d - 16*a*b**2*d*sqrt(a*b + b**2)) + 20*a*b*sqrt(a*b + b**2)*sqrt(-1 - 2*b/a - 2*sqrt(a
*b + b**2)/a)*log(-sqrt(-1 - 2*b/a - 2*sqrt(a*b + b**2)/a) + tan(c/2 + d*x/2))/(2*a**4*d + 18*a**3*b*d - 8*a**
3*d*sqrt(a*b + b**2) + 32*a**2*b**2*d - 24*a**2*b*d*sqrt(a*b + b**2) + 16*a*b**3*d - 16*a*b**2*d*sqrt(a*b + b*
*2)) - 20*a*b*sqrt(a*b + b**2)*sqrt(-1 - 2*b/a - 2*sqrt(a*b + b**2)/a)*log(sqrt(-1 - 2*b/a - 2*sqrt(a*b + b**2
)/a) + tan(c/2 + d*x/2))/(2*a**4*d + 18*a**3*b*d - 8*a**3*d*sqrt(a*b + b**2) + 32*a**2*b**2*d - 24*a**2*b*d*sq
rt(a*b + b**2) + 16*a*b**3*d - 16*a*b**2*d*sqrt(a*b + b**2)) + 4*a*b*sqrt(a*b + b**2)*sqrt(-1 - 2*b/a + 2*sqrt
(a*b + b**2)/a)*log(-sqrt(-1 - 2*b/a + 2*sqrt(a*b + b**2)/a) + tan(c/2 + d*x/2))/(2*a**4*d + 18*a**3*b*d - 8*a
**3*d*sqrt(a*b + b**2) + 32*a**2*b**2*d - 24*a**2*b*d*sqrt(a*b + b**2) + 16*a*b**3*d - 16*a*b**2*d*sqrt(a*b +
b**2)) - 4*a*b*sqrt(a*b + b**2)*sqrt(-1 - 2*b/a + 2*sqrt(a*b + b**2)/a)*log(sqrt(-1 - 2*b/a + 2*sqrt(a*b + b**
2)/a) + tan(c/2 + d*x/2))/(2*a**4*d + 18*a**3*b*d - 8*a**3*d*sqrt(a*b + b**2) + 32*a**2*b**2*d - 24*a**2*b*d*s
qrt(a*b + b**2) + 16*a*b**3*d - 16*a*b**2*d*sqrt(a*b + b**2)) - 16*b**3*sqrt(-1 - 2*b/a - 2*sqrt(a*b + b**2)/a
)*log(-sqrt(-1 - 2*b/a - 2*sqrt(a*b + b**2)/a) + tan(c/2 + d*x/2))/(2*a**4*d + 18*a**3*b*d - 8*a**3*d*sqrt(a*b
+ b**2) + 32*a**2*b**2*d - 24*a**2*b*d*sqrt(a*b + b**2) + 16*a*b**3*d - 16*a*b**2*d*sqrt(a*b + b**2)) + 16*b*
*3*sqrt(-1 - 2*b/a - 2*sqrt(a*b + b**2)/a)*log(sqrt(-1 - 2*b/a - 2*sqrt(a*b + b**2)/a) + tan(c/2 + d*x/2))/(2*
a**4*d + 18*a**3*b*d - 8*a**3*d*sqrt(a*b + b**2) + 32*a**2*b**2*d - 24*a**2*b*d*sqrt(a*b + b**2) + 16*a*b**3*d
- 16*a*b**2*d*sqrt(a*b + b**2)) + 16*b**2*sqrt(a*b + b**2)*sqrt(-1 - 2*b/a - 2*sqrt(a*b + b**2)/a)*log(-sqrt(
-1 - 2*b/a - 2*sqrt(a*b + b**2)/a) + tan(c/2 + d*x/2))/(2*a**4*d + 18*a**3*b*d - 8*a**3*d*sqrt(a*b + b**2) + 3
2*a**2*b**2*d - 24*a**2*b*d*sqrt(a*b + b**2) + 16*a*b**3*d - 16*a*b**2*d*sqrt(a*b + b**2)) - 16*b**2*sqrt(a*b
+ b**2)*sqrt(-1 - 2*b/a - 2*sqrt(a*b + b**2)/a)*log(sqrt(-1 - 2*b/a - 2*sqrt(a*b + b**2)/a) + tan(c/2 + d*x/2)
)/(2*a**4*d + 18*a**3*b*d - 8*a**3*d*sqrt(a*b + b**2) + 32*a**2*b**2*d - 24*a**2*b*d*sqrt(a*b + b**2) + 16*a*b
**3*d - 16*a*b**2*d*sqrt(a*b + b**2)), True))

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 1.17185, size = 86, normalized size = 2.39 \begin{align*} \frac{\pi \left \lfloor \frac{d x + c}{\pi } + \frac{1}{2} \right \rfloor \mathrm{sgn}\left (2 \, a + 2 \, b\right ) + \arctan \left (\frac{a \tan \left (d x + c\right ) + b \tan \left (d x + c\right )}{\sqrt{a^{2} + a b}}\right )}{\sqrt{a^{2} + a b} d} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+b*sin(d*x+c)^2),x, algorithm="giac")

[Out]

(pi*floor((d*x + c)/pi + 1/2)*sgn(2*a + 2*b) + arctan((a*tan(d*x + c) + b*tan(d*x + c))/sqrt(a^2 + a*b)))/(sqr
t(a^2 + a*b)*d)